极限

数列

Sequence of number

数列就是一系列的数

写法/通项/一般项 举例

数列是n的一个函数，默认n从1开始

数列：$\{x_n\}=x_1,x_2,x_3,x_4,...,x_n,...$

数列：$\{n\}=1,2,3,4,...,n,...$ *(通项/一般项：n)

数列的极限

Limit of a sequence

定义

$$\{x_n\},\mathrm{\exists }a,\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N$$$$|x_n-a|<ϵ,(n>N)$$

• 翻译
  对于数列$\{x_n\}$，存在$a$(数列的极限)
  取任意$ϵ>0$(尽量取小),都存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|x_n-a|<ϵ$

则称$\{x_n\}\mathrm{的}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{是}a$，记为

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$

举例

数列$\{\frac{1}{n}\}$，当$n\to \mathrm{\infty }$时，$\frac{1}{n}\to 0$，$0$称为该数列的极限

记为

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$$

证明：

$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N=[\frac{1}{ϵ}]+1([]\mathrm{为}\mathrm{向}\mathrm{下}\mathrm{取}\mathrm{整}),\mathrm{使}n>N\mathrm{时},\mathrm{有}|\frac{1}{n}-0|<ϵ$$

过程：
$|\frac{1}{n}-0|<ϵ$
$\frac{1}{n}<ϵ$
$n>\frac{1}{ϵ}$
$\therefore N=[\frac{1}{ϵ}]+1$

• 基本逻辑是，去证明定义中的不等式，并找出合理的N
  即，只要找到任意一个N，使得不等式成立，即可

数列的发散/收敛

一个数列有极限，则称为收敛数列
反之，称为发散数列

• 唯一性：$\{x_n\}$ 收敛，则极限唯一
• 有界性：如果 $\mathrm{\exists }M>0,\mathrm{\forall }{x}_n\le M$，则称数列有界
• 保号性：如果$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a,a>0,\mathrm{\exists }N,n>N\mathrm{时},x_n>0$ (意思一下就好)

函数的极限

Limit of a function

定义

与数列类似的

设$f(x)$在$x_0$的 某去心邻域内有意义
$\mathrm{\exists }A(limitoff(x))$
$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0$
$0<|x-x_0|<\delta ,|f(x)-A|<ϵ$

$$f(x)=\frac{1}{x},\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$$

• 翻译
  简单的说，与数列是相似的
  对于函数而言，是一定存在$\mathring{U}(x_0,\delta )$,使得不等式成立
  重点在于"去心"，即并不要求$x$取到$x_0$

$$\mathrm{规}\mathrm{范}\mathrm{地}\mathrm{书}\mathrm{写}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{是}\mathrm{恼}\mathrm{人}\mathrm{的}$$

左/右极限

左极限，从左边逼近

$$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A$$

右极限，从右边逼近

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$$

一些性质

有些性质与数列极限相似

• 唯一性：若函数的极限存在，那极限一定唯一
• 局部有界性
• 局部保号性

无穷大(量)/无穷小(量)

无穷小

设$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$，称为，当$x\to x_0$时，$f(x)$无穷小

• 无穷小：无限趋于0
• 常数0是无穷小
• 无穷小是讲究$x$的变化过程的

定理:

$$x\to x_0,\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A⟺f(x)+\alpha ,\alpha \to 0$$

注意，无穷小时讲究$x$的变化过程的，所以上述定理的$\alpha$也是在$x\to x_0$时无穷小

无穷大

无穷大$\mathrm{\infty }$ 分为两种：正无穷大$+\mathrm{\infty }$和负无穷大$-\mathrm{\infty }$，统称为无穷大

同样讲究$x$的变化过程

• 如果$f(x)$，当$x\to x_0$时，无穷大，如

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }$$

则极限不存在
不管是正无穷大还是负无穷大都属于极限不存在，如

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }$$

上面两种情况，属于极限不存在

• 极限是一个常数的情况才称为极限存在

定理

• 无穷大的倒数 = 无穷小

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }⟹\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{f(x)}=0$$

• 无穷小的倒数 = 无穷大

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0⟹\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{f(x)}=\mathrm{\infty },(f(x)\ne 0)$$

注：关于为什么要限制$f(x)\ne 0$，因为$f(x)=0$在任意的$x$变化中，都是无穷小量，需要排除$\frac{1}{0}$的情况

• 一些无穷量的运算
  $\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=Unknown$
  $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=Unknown$
  $\mathrm{\infty }\times \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$
  $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }=Unknown$

  $(+\mathrm{\infty })+(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$
  $(+\mathrm{\infty })-(+\mathrm{\infty })=Unknown$
  $(+\mathrm{\infty })\times (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$
  $(+\mathrm{\infty })/(+\mathrm{\infty })=Unknown$

  $(-\mathrm{\infty })+(-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$
  $(-\mathrm{\infty })-(-\mathrm{\infty })=Unknown$
  $(-\mathrm{\infty })\times (-\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$
  $(-\mathrm{\infty })/(-\mathrm{\infty })=Unknown$

  先设定$x\to x_0$时,$\alpha ,\beta$ 均为无穷小量
  $\alpha +\beta =0$(趋于零)
  $\alpha -\beta =0$
  $\alpha \times \beta =0$
  $\alpha /\beta =(\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定})$

极限的运算

1. 有限个，无穷小的和是无穷小
   无限个，不一定

   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n}{\underbrace{(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n})}}=1$$

2. 有界函数与无穷小的的乘积是无穷小

   $$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0$$

3. $\alpha \to 0,k\alpha \to 0$

4. 有限个，无穷小相乘是无穷小
   无限个，不一定

5. 设$limf(x)=A,limg(x)=B$

   $$lim(f(x)\pm g(x))=limf(x)\pm limg(x)$$$$lim(f(x)\cdot g(x))=limf(x)\cdot limg(x)$$$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)},B\ne 0$$$$\mathrm{要}\mathrm{求}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{都}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{才}\mathrm{可}\mathrm{以}，\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{大}\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}$$

6. $limcf(x)=climf(x)$ c为常数，与3.同理

7. 若$limf(x)$存在，则$lim[f(x){]}^n=[limf(x){]}^n$