函数

定义

数集$D\subset R$
函数$f:D\to R$ 是数集$D$到数集$R$的映射
且要求是单射，即一个x 唯一对应 一个y
$y=f(x),x\in D$
$x$ ：自变量，$y$ ：因变量
$D_f$ ：定义域 D for domain，函数唯一时可简称$D$
$R_f$ ：值域 R for range

$$R_f=\{y\mid y=f(x),x\in D\}$$

要素

• $D_f$ 定义域
• $f$ 对应法则

特别的例子

常数函数

$$y=2,D=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),R_f=\{2\}$$

绝对值函数

$$y=|x|,D=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),R_f=[0,+\mathrm{\infty })$$

符号函数

$$y=sgnx,D=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),R_f=-1,0,1$$

取整函数(向下取整$x$)

$$y=[x],D=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),R_f=\mathbb{Z}(\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{整}\mathrm{数})$$

有界性

讨论有界性需要限定区间

上界

假设
$f(x)$定义域$D$，$X\in D$，$\mathrm{\exists }{K}_1$，$\mathrm{\forall }x\in X,f(x)\le K_1$
则称$K_1$为$f(x)$的上界$

若函数有上界，则上界不唯一

下界

与上面一样
若函数有下界，则下界不唯一

有界

假设有
$\mathrm{\exists }M>0$，$|f(x)|\le M$
则称$f(x)$有界

例如 $f(x)=sinx,|sinx|\le 1,-1\le f(x)\le 1$，$f(x)$有界

如果函数有界，则$M$不唯一

无界性

$\mathrm{\forall }M>0$，$\mathrm{\exists }{x}_1\in D,|f(x_1)|>M$

任意一个$M$，都有$x_1\in D$存在，使得$|f(x_1)|>M$，则称$f(x)$无界

界的总结

有上界，无下界，则函数无界 无上界，有下界，也函数无界

有上界，有下界，是有界的充要条件

单调性

讨论单调性需要限定区间
函数单调性，即函数单调递增或单调递减

举例

$f(x)=x^2,f(x)$
$x\in (-\mathrm{\infty },0]$时单调递增
$x\in [0,+\mathrm{\infty })$单调递减

奇偶性

假设$\mathrm{\forall }x\in D,f(x)=f(-x)$，则称$f(x)$为偶函数
偶函数的图像是关于y轴对称的

假设$\mathrm{\forall }x\in D,f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数
奇函数的图像是关于原点对称的

周期性

假设
$\mathrm{\exists }l>0$，$\mathrm{\forall }x\in D,f(x+l)=f(x)$
则称$f(x)$为周期函数，周期为$l$

举例

$f(x)=sinx,f(x+2\pi )=f(x)$，则$f(x)$为周期函数，周期为$2\pi$
$f(x)=cosx,f(x+2\pi )=f(x)$，则$f(x)$为周期函数，周期为$2\pi$

$f(x)=tanx,f(x+\pi )=f(x)$，则$f(x)$为周期函数，周期为$pi$$f(x)=cotx,f(x+\pi )=f(x)$，则$f(x)$为周期函数，周期为$pi$

特别的例

并非每个周期函数都有最小正周期

如狄利克雷函数

$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{array}$$

反函数

$f:D\to f(D)$ 单射*(一个x 唯一对应 一个y)
$f^{-1}:f(D)\to D$

反函数与直接函数是关于$y=x$对称的

复合函数

$y=f(g(x))$
$y=f(u)$ 定义域$D_f$
$u=g(x)$ 定义域$D_g$

为了使复合函数有意义
要求 $g$ 的值域 $R_g$ 是 $f$ 的定义域 $D_f$ 的子集
即$R_g\subset D_f$

特别的性质

对于任意定义域在 对称区间$(-l,l)$上的函数$f(x)$
存在偶函数$g(x)$和奇函数$h(x)$
使得$f(x)=g(x)+h(x)$