向量与矩阵基础

提前看了一些线性代数的内容，这一部分跳过了。

平面方程

比较的简单，速过

三维空间中，一个平面的方程为：

$ax+by+cz=d$

1. 找到过原点，且法线为$<1,5,10>$的平面

$$1x+5y+10z=0⟺\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=[0](\mathrm{法}\mathrm{线}\mathrm{点}\mathrm{乘}=0)$$

2. 过点$P=(2,1,-1)$，且法线为$\overrightarrow{n}=<1,5,10>$的平面

$$\begin{array}{ll}1(x-2)+5(y-1)-10(z+1)=0& (\mathrm{带}\mathrm{入}P\mathrm{点}\mathrm{点}\mathrm{乘}\mathrm{为}0)\\ 1x+5y+10z=-3\end{array}$$

直线的参数方程

有$Q_0=(-1,2,2),Q_1=(1,3,-1)$

$$Q(t)=\{\begin{array}{l}x(t)=-1+2t\\ y(t)=2+t\\ z(t)=2-3t\end{array}$$

其中常数项为$t=0$的值

问$Q(t)$与平面$x+2y+4z=7$的关系

代入$Q_0\to -1+4+8=11>7(11-7=4)$
代入$Q_1\to 1+6-4=3<7(3-7=-4)$
$\therefore Q_0{Q}_1$ 不在平面上，且不同一侧，有交点
$Q(t)=(x(t),y(t),z(t))\text{代入平面}$

$$\begin{array}{rl}x(t)+2y(t)+4z(t)& =7\\ (-1+2t)+2(2+t)+4(2-3t)& =7\\ (-8t)+11& =7\\ t& =\frac{1}{2}\end{array}$$

从代入$Q_0,Q_1$的结果$\pm 4$来看，交点确实是在$Q_0,Q_1$中间

交点：$Q(\frac{1}{2})=(0,\frac{1}{2}+2,-\frac{3}{2}+2)$

曲线的参数方程

摆线：一个向前滚动的车轮上，固定一点的运动轨迹

如图所示，方程推算并不困难

$$\overrightarrow{r}(t)=<t-\sin t,1-\cos t>$$$$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=<1-\cos t,\sin t>$$$$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{2-2\cos t}(\text{速度大小})$$$$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=<-\sin t,1-\cos t>$$

求弧长$s$:

$$\frac{ds}{dt}=|\overrightarrow{v}|=\sqrt{2-2\cos t}$$$$s={\int }_0^{2\pi }\sqrt{2-2\cos u}du\text{不会}$$

链式法则有：

$$\begin{array}{rlr}\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=& \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}& \frac{ds}{dt}\\ & \text{Unit }\overrightarrow{v}& |\overrightarrow{v}|\end{array}$$