二重积分

二重积分

Double Integral

体积理解：

对于$z=f(x,y)$，在区域$R$（x-y平面）上的体积

$$\int {\int }_{R}f(x,y)\text{d}A$$$$\underset{\text{d}{A}_i\to 0}{lim}\sum _{i}f(x_i,y_i)\text{d}{A}_i$$

若想象成x或y方向上无数‘切片’面积的和。就可以转换成两个一元积分。

1. 先确定一个方向，如x方向，确定外积分

$${\int }_{x_{min}}^{x_{max}}S(x)\text{d}x$$

2. 在确定内积分 $S(x)$，S也是一个积分，积分域（可能）与x相关

$$S(x)={\int }_{y_{min(x)}}^{y_{max(x)}}f(x,y)\text{d}y$$

3. 完整的写出来就是

$$\int {\int }_{R}f(x,y)\text{d}A={\int }_{x_{min}}^{x_{max}}[{\int }_{y_{min(x)}}^{y_{max(x)}}f(x,y)\text{d}y]\text{d}x$$

这叫Iterated Integral，累次积分

例1

$z=1-x^2-y^2$

函数图像

积分域为$R$：$x=y=[0,1]$，这个积分域的x和y无关，计算起来会比较简单。

$${\int }_0^1{\int }_0^1(1-x^2-y^2)\text{d}y\text{d}x$$

1. 计算内积分 inner integral

$${\int }_0^1(1-x^2-y^2)\text{d}y=y-x^{2}y-\frac{1}{3}{y}^3{|}_0^1$$$$=(1-x^2-\frac{1}{3})-(0)=\frac{2}{3}-x^2$$

2. 计算外积分 outer integral

$${\int }_0^1\frac{2}{3}-x^2\text{d}x=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1$$$$=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

$\text{d}x\text{d}y$的计算顺序可以换，结果是一样的，但是可能会影响计算量
且换顺序，需要处理积分域，处理方式需要观察$R$的形状确定

例2

还是这个函数：$z=1-x^2-y^2$

$R$为(x-y平面)第一象限，半径为1的$\frac{1}{4}$圆

$x^2+y^2\le 1$
$x\ge 0$且$y\ge 0$

0. 积分域x和y相互影响：给定的x有y的积分域为$0\le y\le \sqrt{1-x^2}$

$${\int }_0^1{\int }_0^{\sqrt{1-x^2}}(1-x^2-y^2)\text{d}y\text{d}x$$

1. 内积分

$${\int }_0^{\sqrt{1-x^2}}(1-x^2-y^2)\text{d}y$$$$=y-x^{2}y-\frac{1}{3}{y}^3{|}_0^{\sqrt{1-x^2}}$$$$...=\frac{2}{3}(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}$$

2. 外积分

$${\int }_0^1\frac{2}{3}(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}\text{d}x$$

令$\theta ={\sin }^{-1}(x)$，$x=sin(\theta )$，$\text{d}x=\cos (\theta )\text{d}\theta$，积分域$\theta (1)=\frac{\pi }{2}$，$\theta (0)=0$

$$=\frac{2}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^2\theta {)}^{\frac{3}{2}}\cos \theta \text{d}\theta$$$$...=\frac{2}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^4\theta \text{d}\theta$$

半角公式:${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos (2\theta )}{2}$

$$...=\frac{\pi }{8}$$