梯度，切平面，方向导数

梯度

函数$W(x,y,z)$
$x=x(t)$
$y=y(t)$
$z=z(t)$

导数：

$$\frac{\text{d}W}{\text{d}t}=W_x\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+W_y\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+W_z\frac{\text{d}z}{\text{d}t}$$

可以简写成：

$$\frac{\text{d}W}{\text{d}t}=\mathrm{\nabla }W\cdot \frac{\text{d}\overrightarrow{r}}{\text{d}t}$$

其中:$\mathrm{\nabla }W$ 为梯度向量

$$\mathrm{\nabla }W=<W_x,W_y,W_z>$$

后者为速度向量

$$\frac{\text{d}\overrightarrow{r}}{\text{d}t}=<\frac{\text{d}x}{\text{d}t},\frac{\text{d}y}{\text{d}t},\frac{\text{d}z}{\text{d}t}>$$

即：梯度向量包含了所有方向的变化率，对于给定的$\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z$，可计算出总变化量。

性质

$\mathrm{\nabla }W$为切平面的法线

例

找到函数$W(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$，当$W=4$时的图像，于点$(2,1,1)$处的切平面

1. 计算梯度向量$\mathrm{\nabla }$：

$\mathrm{\nabla }W=<2x,2y,-2z>$

2. 代入点计算法线

于点$(2,1,1)$处，$\nabla W = <4,2,-2>，此为切平面法线

3. 确定切平面方程

切平面： $4x+2y-2z$

代入点$(2,1,1)$
$4(x-2)+2(y-1)-2(z-1)=0$

$\therefore 4x+2y-2z=8$

近平面参见

方向导数

对于函数$W(x,y)$的偏导$fx$，是在固定住$y$的情况下，对$x$进行求导，本质上是在$\hat{x}$（或者称$\hat{i}$）方向上的求导。

假定希望对任意方向$\hat{u}$进行求导，则操作如下：

$${\frac{\text{d}W}{\text{d}s}}_{|\hat{u}}=\mathrm{\nabla }W\cdot \hat{u}$$

// 按分量取投影。

Geometrically

$${\frac{\text{d}W}{\text{d}s}}_{|\hat{u}}=\mathrm{\nabla }W\cdot \hat{u}=|\mathrm{\nabla }W|\cos \theta$$

$\theta$为$\hat{u}$和$\mathrm{\nabla }W$的夹角

当投影为1时，$\theta =0\mathrm{°}$，意为在该点处该方向的变化速度最快
当投影为0时，$\theta =90\mathrm{°}$，意为在该点处该方向的变化速度最慢(变化率为0)