偏导数，近平面

偏导数

Partial Derivative: 偏导数

Partial翻译

部分的 偏袒的 钟爱的

一元函数的导数回顾

$$f^{\prime }(x)=\frac{df}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

偏导数的记号

$\partial$ = partial

$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x$ 一次只求一个变量的导数，另外一个变量视为常数，所以称为“部分”导数

如：$f(x,y)$

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f_x$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }y}=f_y$$

Geometrically 几何上

当求$x$的偏导时，即为固定了$y=y_0$，偏导结果即为函数在$y=y_0$处的截面

例

$$f(x,y)=x^{3}y+y^2$$$$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y+0$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^3+2y$$

近平面

求：$f(x,y)=x^2+y^2$ 的切平面

切平面为，$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$所形成的平面

$\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ 且 $\frac{\partial f}{\partial y}=2y$

则$f(x,y)$于点$(x_0,y_0)$处的近平面为：

$$z=z_0+\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)$$

下图为$(0.1,0.2)$处的切平面可视化

近平面演示