基础变换

缩放矩阵

Scale Matrix

$$\left[\begin{array}{cc}{S}_x& 0\\ 0& S_y\end{array}\right]$$

例：将向量(4,3)缩放到原来的0.5倍

$$\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 1.5\end{array}\right]$$

切变矩阵

Shear Matrix

$$\left[\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+ky\\ y\end{array}\right]$$

旋转矩阵

Rotate Matrix
// 默认的，旋转表示绕原点逆时针旋转

$$R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

可简单的推导得出上述变换矩阵

旋转矩阵的特别点

当旋转$-\theta$角度时旋转矩阵为

$$R_{-\theta }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

由此可得：$R_{-\theta }={R_{\theta }}^T(R_{-\theta }\mathrm{是}{R}_{\theta }\mathrm{的}\mathrm{转}\mathrm{置})$
且：$R_{-\theta }={R_{\theta }}^{-1}(R_{-\theta }\mathrm{和}{R}_{\theta }\mathrm{互}\mathrm{为}\mathrm{逆}\mathrm{矩}\mathrm{阵})$
所以有：旋转矩阵 $R_{\theta }\mathrm{的}\mathrm{逆}=R_{\theta }\mathrm{的}\mathrm{转}\mathrm{置}$

正交矩阵

我们称符合上述条件的矩阵为正交矩阵

线性变换

Linear Transform

以上变换均属于线性变换

线性变换的形式

$$\left[\begin{array}{c}x\prime \\ y\prime \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

平移矩阵

Translate Matrix

要说明平移变换之前，先要引入齐次坐标概念

齐次坐标

将向量或坐标升维表示

以2维为例

point : (x,y)的齐次坐标为(x,y,1)
（点代表位置，需要对平移生效,所以新维度用1表示）

vector : (x,y)的齐次坐标为(x,y,0)
（向量代表方向，不需要对平移生效，所以新维度用0表示）

平移矩阵表示方法

并不好用不统一的计算方法

$$\left[\begin{array}{c}x\prime \\ y\prime \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$$

引入齐次坐标后的矩阵

$$\left[\begin{array}{c}x\prime \\ y\prime \\ w\prime \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ 1\end{array}\right]$$

齐次坐标后的基本操作统一

齐次坐标升维后的新维度用$w$表示
当$w=1$时，代表一个点
当$w=0$时，代表一个向量

由此可得

• vector + vector = vector (0+0=0)
• point - point = vector (1-1=0)
• point + vector = point (1+0=1)
• point + point = point (1-1=2)
  最后这一种的情况，$w=2$比较特殊，所以齐次坐标扩充了一项定义

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right]$当$w\ne 0$时，表示一个点 $\left[\begin{array}{c}x/w\\ y/w\\ 1\end{array}\right]$

通过上面的这个补充定义，在齐次坐标中
pointA + pointB = 两个点的中点

仿射变换

Affine Transform

引入齐次坐标的目的，就是为了将线性变换和平移变换统一起来

• 线性变换+平移

$$\left[\begin{array}{c}x\prime \\ y\prime \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$$

• 齐次坐标

$$\left[\begin{array}{c}x\prime \\ y\prime \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

逆变换

$M^{-1}M\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$

变换的组合操作

举例这么一个操作，将点(3,4)先旋转45度，在想右平移1个单位
计算上书写如下:

$$T_{(1,0)}{R}_{45\mathrm{°}}\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos 45\mathrm{°}& -\sin 45\mathrm{°}& 0\\ \sin 45\mathrm{°}& \cos 45\mathrm{°}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right]$$

将先后的两个变换矩阵合并后，会得到一个变换矩阵，一次性的完成这个操作

$$\left[\begin{array}{ccc}\cos 45\mathrm{°}& -\sin 45\mathrm{°}& 1\\ \sin 45\mathrm{°}& \cos 45\mathrm{°}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right]$$

注：两个变换操作的顺序是不能颠倒的，顺序的不同，导致的结果也会不同

$$T_{(1,0)}{R}_{45\mathrm{°}}\ne R_{45\mathrm{°}}{T}_{(1,0)}$$