MVP变换

羊男原创2025/4/30大约 7 分钟

Model_Matrix

模型矩阵意在将模型空间中的坐标映射到世界空间

M_{M o d e l \to W o r l d} = T_{M a t r i x} * R_{M a t r i x} * S_{M a t r i x}

遵循先缩放，后旋转，再平移的顺序

View_Matrix

视图矩阵意在将世界空间中的坐标映射到观察空间

0.分析

当摄像机拍摄某一个物体时，如果摄像机的位置和朝向发生了变化，则成像也会变化。
但是如果给物体施加以和摄像机相同的变换，则成像就不会发生变化。
即当相机和物体的相对位置没有发生变化的时候，成像不变。

因此，我们可以将摄像机的的位置，变换到原点，并将旋转归零。
再将相同的变换操作应用到物体上，即可得到物体的观察空间坐标。

1.先将摄像机位置归于原点

摄像机的位置 $(E y e_{x}, E y e_{y}, E y e_{z})$
则将摄像机归于原点的变换矩阵为：

T_{M a t r i x} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - E y e_{x} \\ 0 & 1 & 0 & - E y e_{y} \\ 0 & 0 & 1 & - E y e_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

2.将摄像机的旋转归零

继续分析，以X轴方向为例。
其实我们很难将摄像机空间中的X轴方向变换到世界空间中的X轴方向

\vec{V i e w_{X}} \to \vec{W o r l d_{X}}

但是，反过来想，我们却可以很轻易地做到

\vec{V i e w_{X}} \leftarrow \vec{W o r l d_{X}}

我们将X轴视为右方向，则可以有

[\begin{matrix} V i e w R i g h t_{x} & 0 & 0 & 0 \\ V i e w R i g h t_{y} & 0 & 0 & 0 \\ V i e w R i g h t_{z} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} V i e w R i g h t_{x} \\ V i e w R i g h t_{y} \\ V i e w R i g h t_{z} \\ 0 \end{matrix}]

然后我们将这个简单的操作重复到Y轴和Z轴上，即可得到旋转矩阵

M_{W o r l d \to V i e w} = [\begin{matrix} V i e w R i g h t_{x} & V i e w U p_{x} & - V i e w F o r w a r d_{x} & 0 \\ V i e w R i g h t_{y} & V i e w U p_{y} & - V i e w F o r w a r d_{y} & 0 \\ V i e w R i g h t_{z} & V i e w U p_{z} & - V i e w F o r w a r d_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

又因为旋转矩阵的特殊性，即旋转矩阵的逆矩阵等于旋转矩阵的转置矩阵，因此我们便得到了我们想要的矩阵

M_{V i e w \to W o r l d} = M_{W o r l d \to V i e w}^{- 1} = M_{W o r l d \to V i e w}^{T}

= [\begin{matrix} V i e w R i g h t_{x} & V i e w R i g h t_{y} & V i e w R i g h t_{z} & 0 \\ V i e w U p_{x} & V i e w U p_{y} & V i e w U p_{z} & 0 \\ - V i e w F o r w a r d_{x} & - V i e w F o r w a r d_{y} & - V i e w F o r w a r d_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

注：方向向量都是单位向量
注：forward是负数，是约定了相机看向-z方向，forward = target - eye

3.结论

由以上步骤，我们得到最终的View_Matrix

V i e w_{M a t r i x} = R_{M a t r i x} * T_{M a t r i x}

Projection_Matrix

投影矩阵意在将观察空间中的坐标映射到裁剪空间（Clip Space）
投影分为两种类型，正交投影，和透视投影

1.正交投影

在图形学中，我们借助构建标准立方体[-1,1]，来确定投影范围

确定投影空间的边界，有如下参数（参数来源自摄像机）
l : 左
r : 右
t : 上
b : 下
n : 近平面
f : 远平面

先将标准立方体位移至原点

T_{M a t r i x} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{l + r}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{t + b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{n + f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

然后在缩放至标准立方体的大小
大小是[-1，1]，所以每个边界的长度是2

S_{M a t r i x} = [\begin{matrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

最后我们就得到了正交投影矩阵

M_{O r t h o g r a p h i c} = S_{M a t r i x} * T_{M a t r i x}

2.透视投影

关于透视投影，我们可以先将透视投影的视锥体(frustom)的远平面"挤压"，将远平面的大小变换成与近平面相同，再乘以我们已经知晓答案的正交投影矩阵，即可完成透视投影矩阵

根据下图的相似三角形

我们可以很轻易地得出X和Y经过变化后的结果，即

\begin{matrix} [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] & \overset{透视->正交}{\to} & [\begin{matrix} \frac{n}{z} x \\ \frac{n}{z} y \\ ? \\ 1 \end{matrix}] & \overset{齐次除法}{\to} & [\begin{matrix} n x \\ n y \\ ? \\ z \end{matrix}] \end{matrix}

由此，我们可以先推到出部分透视->正交矩阵，即

\begin{matrix} [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ ? \\ z \end{matrix}] \end{matrix}

接下来，将要推导Z的部分，通过分析 [透视->正交变换示意图]
我们可以得到如下两条结论:
1.通过透视->正交矩阵变换后，近平面上的任意点，没有发生任何变化
2.通过透视->正交矩阵变换后，远平面上的中心点，没有发生任何变化

根据1结论，我们可以得出如下推导

\begin{matrix} [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] & \overset{透视->正交}{\to} & [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] & \overset{齐次除法}{\to} & [\begin{matrix} n x \\ n y \\ n^{2} \\ n \end{matrix}] \end{matrix}

根据上面的推导，我们可以进一步假设透视->正交矩阵的一部分

[\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ A n + B \\ n \end{matrix}] = [\begin{matrix} n x \\ n y \\ n^{2} \\ n \end{matrix}]

进而得出等式1：
$A n + B = n^{2}$

根据2结论，我们可以得出如下推导

\begin{matrix} [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{matrix}] & \overset{透视->正交}{\to} & [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{matrix}] & \overset{齐次除法}{\to} & [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f^{2} \\ f \end{matrix}] \end{matrix}

根据上面的推导，我们可以进一步假设透视->正交矩阵的一部分

[\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ A f + B \\ f \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ f^{2} \\ f \end{matrix}]

进而得出等式2：
$A f + B = f^{2}$

至此，我们的除了两条等式，求解即可得到 $A B$

{\begin{cases} A n + B = n^{2} \\ A f + B = f^{2} \end{cases} = {\begin{cases} A = n + f \\ B = - n f \end{cases}

最终我们得到了完成的透视->正交矩阵

M_{P e r s p e c t i v e \to O r t h o g r a p h i c} = [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & - n f \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

3.结论

M_{P r o j e c t i o n} = M_{O r t h o g r a p h i c} * M_{P e r s p e c t i v e \to O r t h o g r a p h i c}

写在最后

以上推导过程，来自Games101课程
虽然过程没有任何问题
但是，在做作业01的时候，发现作业的代码，如果完全按照课程推导出的矩阵带入的话，得到的结果会颠倒，如图

通过查阅资料，和自己的一点点思考后，发现，问题出在 $z$ 上
因为在视图变换中，我们规定相机看向了 $- z$ 方向，于是当程序进行最终的齐次除法时，物体的 $z$ 始终是负数,也就是 $w$ 分量，这就出现了如下的结果：

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}] = [\begin{matrix} x / w \\ y / w \\ z / w \\ 1 \end{matrix}]

$w$ 分量为负数，导致了颠倒
我个人是简单地将【透视->正交矩阵】做了一点简单的修改

[\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & - n f \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] => [\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & - n f \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix}]

这样即可得到正确的结果:

也有文章指出，是因为参数中的 $z N e a r = 0.1$ 和 $z F a r = 50$ (正数的原因)，有人将这两个参数改为负数一样可以得到正确的结果

但是我认为，这种做法，还有包括我的做法，都是不太对的。
另有文章指出，《虎书》中推导的矩阵代入程序也是正确的。

其实到这一步还没学习到光栅化，深度测试等内容，所以，无所谓啦，之后也得再看看《虎书》的。

2025.05.07 更新

// 颠倒的解决方法
Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio, float zNear, float zFar)
{
    ...
    // 做上下翻转操作
    // 看起来是对的，那就是对的
    float t = -1 * tan(fov_Radian_Half) * zNear; // 上边界
    ...
}

最后!!!

关于图形学的学习，其实很早很早就开始了，但也总是中断，都没有坚持。加上工作忙且与渲染相关的需求其实并不多，就一直搁置，希望这次可以好好学到底，加油哦～

引用图形学里一句经典的话

计 算 机 图 形 学 第 一 准 则 ： 近 似 原 则 如 果 它 看 上 去 是 对 的 它 就 是 对 的