$\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $(\begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \end{matrix})$ $\cdot$ $(\begin{matrix} x_{b} \\ y_{b} \end{matrix})$ = $(x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b})$

几何意义

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的几何意义为

$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影的长度乘以 $| | \vec{a} | |$

另外有

根据投影几何意义或 $c o s θ$ 都可简单得出如下结果

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | | \vec{a} | | | | \vec{b} | |$ 时 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相互平行

$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ 时 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为(0,90)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 时 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相互垂直

$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ 时 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为(90,180)

证明

如图所示

设 ${\vec{b}}_{⊥}$ 为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影

$∵ \vec{a} \cdot \vec{b} = | | \vec{a} | | | | \vec{b} | | c o s θ$

$∴ \vec{a} \cdot \vec{b} = | | \vec{a} | | | | \vec{b} | | \frac{| | {\vec{b}}_{⊥} | |}{| | \vec{b} | |}$

$∴ \vec{a} \cdot \vec{b} = | | \vec{a} | | | | {\vec{b}}_{⊥} | |$

$∴ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} 在 \vec{a} 方向上的投影 * | | \vec{a} | |$

向量乘法_叉乘

叉乘是三维和七维空间特有的

几何意义

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$

$\vec{c} 同时垂直于 \vec{a} 和 \vec{b}$

$| | \vec{c} | | = | | \vec{a} | | | | \vec{b} | | s i n ϕ$

还可以通过 $\vec{c}$ 的方向， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的左侧或右侧

向量叉乘的结果，是一个向量

对于二维向量而言，两个向量叉乘的结果的模，等于这两个向量构建出来的平行四边形的面积
计算方式，是将z=0，再代入三维计算

左/右手坐标系

$\vec{x} \times \vec{y} = \vec{z}$ 满足左/右手螺旋定则

就表示当前坐标系是左/右手坐标系

Unity中的坐标系是左手坐标系
当前课程【Games101】使用右手坐标系

基本属性

$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ 零向量

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

$\vec{a} \times (k \vec{b}) = k (\vec{a} \times \vec{b})$

代数计算

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} y_{a} z_{b} - z_{a} y_{b} \\ z_{a} x_{b} - x_{a} z_{b} \\ x_{a} y_{b} - y_{a} x_{b} \end{matrix})

记忆方法，交叉相乘（仔细观察） $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$

[\begin{matrix} x_{c} & y_{c} & z_{c} \\ x_{a} & y_{a} & z_{a} \\ x_{b} & y_{b} & z_{b} \end{matrix}]