矩阵

羊男原创2024/3/27大约 3 分钟

定义

举例一个3x2(3行2列)的矩阵

(\begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix})

(m x n) = (m 行 n 列)

(m x n)(n x p) = (m x p)
即：行列矩阵 X 行列矩阵 =行列矩阵

矩阵乘法要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \end{matrix})

(3x2)(2x4)=(3x4)，结果如下

(\begin{matrix} a_{行 1} \cdot b_{列 1} & a_{行 1} \cdot b_{列 2} & a_{行 1} \cdot b_{列 3} & a_{行 1} \cdot b_{列 4} \\ a_{行 2} \cdot b_{列 1} & a_{行 2} \cdot b_{列 2} & a_{行 2} \cdot b_{列 3} & a_{行 2} \cdot b_{列 4} \\ a_{行 3} \cdot b_{列 1} & a_{行 3} \cdot b_{列 2} & a_{行 3} \cdot b_{列 3} & a_{行 3} \cdot b_{列 4} \\ a_{行 4} \cdot b_{列 1} & a_{行 4} \cdot b_{列 2} & a_{行 4} \cdot b_{列 3} & a_{行 4} \cdot b_{列 4} \end{matrix})

代入数值进行点乘得出结果

(\begin{matrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} & a_{11} b_{13} + a_{12} b_{23} & a_{11} b_{14} + a_{12} b_{24} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} & a_{21} b_{13} + a_{22} b_{23} & a_{21} b_{14} + a_{22} b_{24} \\ a_{31} b_{11} + a_{32} b_{21} & a_{31} b_{12} + a_{32} b_{22} & a_{31} b_{13} + a_{32} b_{23} & a_{31} b_{14} + a_{32} b_{24} \end{matrix})

只要满足前提要求即可

左乘例：

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 6 \end{matrix})

右乘例：

(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix})

矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix})$ 的转置矩阵为 $A^{T} = (\begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix})$

即：矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行的变换。

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0的矩阵，称为单位矩阵

I_{3} = I_{3 \times 3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

I_{n} = I_{n \times n} = (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})

$A I = I A = A$ 任何矩阵乘以单位矩阵都是原矩阵本身。(没什么用)

假设有矩阵 $A$ 和 $A^{- 1}$ ，当 $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ 时，称 $A$ 和 $A^{- 1}$ 互为逆矩阵。

$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

\vec{a} \cdot \vec{b} = {\vec{a}}^{T} \vec{b} = (\begin{matrix} x_{a} & y_{a} & z_{a} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{matrix}) = x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b} + z_{a} z_{b}

\vec{a} \times \vec{b} = A^{*} b = (\begin{matrix} 0 & - z_{a} & y_{a} \\ z_{a} & 0 & - x_{a} \\ - y_{a} & x_{a} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{matrix}) = (\begin{matrix} y_{a} z_{b} - y_{b} z_{a} \\ z_{a} x_{b} - x_{a} z_{b} \\ x_{a} y_{b} - y_{a} x_{b} \end{matrix})