方程组的几何解释

方程组的几何解释

设这么一个方程组
$2x-y=0$
$-x+2y=3$

矩阵形式为
$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$

方程组的矩阵形式称为
$Ax=b$

行图像

按照行图像来看，几何意为，两个方程所代表的直线的交点，即

红色：$2x-y=0$
蓝色：$-x+2y=3$

列图像

按列观察，可得到矩阵的解为：

$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$

即，x个 (2, -1) 向量加上y个 (-1, 2) 向量 的结果，如图

红色：(2, -1)
蓝色：(-1, 2)
绿色：(0, 3)

代入解即意为：$1·(2,-1)+2·(-1,2)=(0,3)$

左乘与右乘

左乘：

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$$

右乘：

$$\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{cc}c& d\end{array}\right]$$

总结

仅仅一节课，就解答了困扰多年的问题，即如何理解矩阵X向量。
如Unity Shader中的矩阵是列主矩阵，所有在如TBN矩阵中，按照列将对应的XYZ轴排列即可得出的出TBN矩阵。
又如在非统一缩放的normalOS -> normalWS计算中，所需要乘的转置矩阵，即使用右乘即可