向量空间，列空间，零空间

向量空间

Vector Space 向量空间

空间中所有向量的集合

任意两个向量相加仍在空间内
任意向量乘以任意实数，仍在空间内

子空间

Subspace 子空间

子空间也是向量空间，均满足向量空间的基本要求

直接举例子:
$R^3$的子空间有

1. $R^3$本身
2. 过原点的平面
3. 过原点的直线
4. 原点

设
$P$是$R^3$的二维子空间，即一个平面
$L$是$R^3$的一维子空间，即一条直线
且$P$和$L$不共面

有
并集：$P\cup L$ 不是$R^3$的子空间
交集：$P\cap L$ 是$R^3$的子空间

结论
对于任意空间的两个子空间$S$和$T$
恒有$S\cap T$仍是子空间

列空间

Column Space 列空间

有矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]$

$A$ 的列空间为三个列向量的所有线性组合，称为$C(A)$

$A$的列空间是$R^4$的子空间。

1. $C(A)$是否充满$R^4$？ 否
2. 什么样的$b$有解? 当$b$属于$C(A)$时，$Ax=b$有解(以列乘的方式思考)
3. $C(A)$是一个怎么样的空间？ $\because C_1+C_2=C_3$
   $\therefore C(A)$是$R^4$的二维子空间

零空间

Null Space 零空间

有矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]$

列空间是矩阵的列向量所组成的空间，相对于$R^4$而言是其二维子空间

而零空间则不同，零空间讨论的是$Ax=0$时的解所组成的空间

对于$A$而言，零空间$N(A)=c\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$

• $N(A)$是$R^3$的一维子空间

• 特点：$N(A)$是一条$R(A)$(行空间)的"法线"

• $N(A)$与所有行向量点乘积为都零