行列式性质及代数余子式

羊男原创2025/11/18大约 3 分钟

行列式

Determinant

行列式是一个标量，讨论的是方阵，记做 $det A$ 或 $| A |$

基本性质

1

$det I = 1$

2

换行后，det符号改变， $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix} |$

3

| \begin{matrix} t a & t b \\ c & d \end{matrix} | = t | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |

| \begin{matrix} a + a^{'} & b + b^{'} \\ c & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | + | \begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c & d \end{matrix} |

可推性质

4

两行相同， $det = 0$

根据性质2可得

5

消元后， $det$ 不变

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | \begin{matrix} \overset{消 元}{\to} \end{matrix} | \begin{matrix} a & b \\ c - n a & d - n b \end{matrix} | \begin{matrix} \overset{性 质 3}{\to} \end{matrix} | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | + | \begin{matrix} a & b \\ - n a & - n b \end{matrix} | \begin{matrix} \overset{性 质 3}{\to} \end{matrix} | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | - n | \begin{matrix} a & b \\ a & b \end{matrix} | \begin{matrix} \overset{性 质 4}{\to} \end{matrix} | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |

6

如行存在零向量， $det = 0$

| \begin{matrix} a & b \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} \overset{性 质 5}{\to} \end{matrix} | \begin{matrix} a & b \\ 0 + a & 0 + b \end{matrix} | \begin{matrix} \overset{性 质 4}{\to} \end{matrix} 0

7

上三角矩阵 $u$ 的行列式

| \begin{matrix} d_{1} & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & d_{2} & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & d_{3} & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{matrix} | = d_{1} d_{2} \dots d_{n}

（性质5）消元得到对角线矩阵
（性质3） $d_{1} = 1 \times d_{1}$ ，提出一个常数 $d_{1}$
累乘

8

根据性质7不难看出，若任意 $d （主元） = 0$ （不满秩），则 $det = 0$

所以：
$det A = 0$ ，A 是奇异矩阵
$det A \neq 0$ ，A 可逆（满秩）

至此得出 $det$ 的运算方式：

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & b \\ c - \frac{c}{a} a & d - \frac{c}{a} b \end{matrix} | = a (d - \frac{c}{a} b) = a d - b c

9

$det (A B) = (det A) (det B)$ ，证明其实比较长，可以问AI

求： $det A^{- 1}$
$∵ A^{- 1} A = I \to det A^{- 1} det A = 1$
$det A^{- 1} = \frac{1}{det A}$

有：

$det A^{2} = (det A)^{2}$
$det 2 A = 2^{n} det A$

10

$det A^{T} = det A$

转置主元不变

同时说明了，和性质6相似的，列存在零向量， $det = 0$

n阶行列式

det A = \sum_{i = 1}^{n!} \pm a_{1 x_{1}} a_{2 x_{2}} \dots a_{n x_{n}}

一共有 $n!$ 项
取 $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ 的排列组合
$\pm$ 号，来自还原为正序的换行次数的奇偶得出结论

例 3x3矩阵行列式

$a_{11} \times a_{22} a_{33} - a_{11} \times a_{23} a_{32}$ （确定 $a_{11}$ 进行排列组合）(1,2,3) - (1,3,2)
$a_{12} \times a_{23} a_{31} - a_{12} \times a_{21} a_{33}$ （确定 $a_{12}$ 进行排列组合）(2,3,1) - (2,1,3)
$a_{13} \times a_{21} a_{32} - a_{13} \times a_{22} a_{31}$ （确定 $a_{13}$ 进行排列组合）(3,1,2) - (3,2,1)
将上面的1.2.3.加起来即可

代数余子式

Cofactor 合作-因子/系数【直译】

观察n阶行列式可知

$a_{11} \times (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32})$ 得到 $a_{11} \times$ n-1阶行列式
$a_{12} \times (a_{23} a_{31} - a_{21} a_{33})$ 得到 $a_{12} \times$ n-1阶行列式
$a_{13} \times (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})$ 得到 $a_{13} \times$ n-1阶行列式
将上述1.2.3.相加即可

Cofactor

可将n阶行列式，分解成n-1阶行列式
每一个步骤都可以看作是，低阶行列式（注意符号）的倍数

完整公式

det A_{n} = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} det A_{n - 1}^{'}

另记 $(- 1)^{i + j} det A_{n - 1}^{'} = C_{i j}$ ，即：

det A_{n} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}

$i$ 可以选取任意行，即按 $i$ 行展开
$A^{'}$ 为不包含 $a_{i j}$ 所在的行列