线形相关，基，维数

前置知识

对于$m\times n$ 矩阵，当$m<n$时，意味着$Ax=0$ 一定存在非全零解
rank最多是$m$，自由列一定是大于0

线形相关性

线形相关性的讨论对象是一组向量

• 抽象定义

有向量组$v_1,v_2,...,v_n$，若存在任意实数$c_1,c_2,...,c_n$(不全为零)
使得$c_1{v}_1+c_2{v}_2+...+c_n{v}_n=0$
则称该组向量线形相关
反之则称该组向量线形无关

• 矩阵角度

讲向量组按列排序，得到矩阵$A=[v_1,v_2,...,v_n]$
当$Ax=0$ 存在非全零解时，该组向量线形相关
当$Ax=0$ 仅有全零解时，该组向量线形无关（rank = n）（没有自由列）

张成空间

张成空间为，向量组的所有线性组合

基

0. 基是一组向量
1. 基线性无关
2. 该向量组 是 其张成空间的基

对于一个空间而言，基不唯一：

如$R^2$的其中一个基为$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$的列向量（注意：基是一组向量）

维数

一个空间的维数 等于
张成该空间的基的数量