矩阵的LU分解

羊男原创2025/10/27大约 1 分钟

矩阵的转置

Transpose Matrix 转置矩阵

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

$A^{T} = [\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}]$

在求 $A x = b$ 时，先求出 $A = L U$ ，后有 $L U x = b$
设 $U x = y$ ， $L y = b$ 求出 $y$ 后， $U x = y$ 即可求 $x$

这个计算过程，步骤简单，且只需要求一次 $L U$ ，即可对任意的 $b$ 求解 $x$

A = [\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 8 & 7 & 9 \end{matrix}] \begin{matrix} \overset{E_{21} (2) \to E_{31} (4) \to E_{32} (3)}{\to} \end{matrix} U = [\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] \begin{matrix} \overset{B u i l d - L}{\to} \end{matrix} L = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2_{E 21} & 1 & 0 \\ 4_{E 31} & 3_{E 32} & 1 \end{matrix}]

完成 $L U$ 分解后，举例求 $b = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}]$

L y = b \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}]

y_{1} = 1, y 2 = - 1, y 3 = 1

U x = y \to [\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}]

x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{3}{2}, x_{3} = \frac{1}{2}

Permutation matrix 置换矩阵

置换矩阵，即行或列的顺序被改变的矩阵

3x3的置换矩阵举例：

P_{12} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

注：置换矩阵是正交矩阵

即： $P^{- 1} = P^{T}$

P A = L U