行列式应用，逆与克莱姆法则

羊男原创2025/11/20大约 2 分钟

矩阵的逆

二阶矩阵的逆，可用增广消元 $[A | I] = [I | A^{- 1}]$ 求得

{[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]}^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]

A^{- 1} = \frac{1}{det A} C^{T}

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$
$C = [\begin{matrix} d & - c \\ - b & a \end{matrix}]$ ，代数余子式矩阵（各个位置的值为 $C_{i j}$ ）
$C^{T} = [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$ ，一般称为伴随矩阵

A^{- 1} = \frac{1}{det A} C^{T} ⟺ A C^{T} = (det A) I = [\begin{matrix} det A & 0 & 0 \\ 0 & det A & 0 \\ 0 & 0 & det A \end{matrix}] (三 阶 简 化 排 版)

例如1-3的值： $a_{11} C_{31} + a_{12} C_{32} + a_{13} C_{33}$

C 31 = | \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} |, C 32 = | \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} |, C 33 = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |

本质上求的是

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix} | = 0

错行必定会包含相同行

求 $A x = b$
$x = A^{- 1} b$
$x = \frac{1}{det A} C^{T} b$

设又矩阵 $B_{j}$ ，意为将 $A$ 的 $j$ 列替换为 $b$
有克莱姆法则: $x_{j} = \frac{det B_{j}}{det A}$

例：

$[\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}]$

$x = \frac{| \begin{matrix} b_{1} & a_{3} \\ b_{2} & a_{4} \end{matrix} |}{det A}$

$y = \frac{| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |}{det A}$

克莱姆法则提供了一种解方程组的数值计算方法，但其要求计算 $n + 1$ 阶行列式
低阶（个人认为仅2阶）可用，高阶时消元更快

行列式 = 体积

二维上， $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$ = 平行四边形面积（ $\frac{1}{2}$ 即为三角形面积）