置换，转置，逆与向量空间

置换，转置以及逆矩阵

Permutation Matrix 置换矩阵
Transpose Matrix 转置矩阵
Inverse Matrix 逆矩阵
Symmetric Matrix 对称矩阵

置换矩阵

置换矩阵是正交矩阵 所以：$P^{-1}=P^T$

转置矩阵

转置矩阵即行列互换 有$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

逆矩阵

逆矩阵的定义：$A^{-1}A=I$

逆矩阵的属性：$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

对称矩阵

对称矩阵即$A_{ij}=A_{ji}$的矩阵
且$A{A}^T$是一个对称矩阵

向量空间

Vector Space 向量空间

$R^2$向量空间指的是，二维平面内所有向量的集合

1. $R$ for real number
2. $R^2$ for 2D

$R^2$二维向量空间中的向量举例:

$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}\pi \\ e\end{array}\right]$

向量空间要求

向量空间要求满足:

1. 加法运算：所有向量均可互相进行加法运算，且结果仍在空间内
   $\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\pi \\ e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3+\pi \\ 4+e\end{array}\right]$
2. 乘法运算：所有向量均可进行标量乘法运算，且结果仍在空间内
   $\left[\begin{array}{c}\pi \\ e\end{array}\right]\times 7=\left[\begin{array}{c}7\pi \\ 7e\end{array}\right]$

• 简而言之就是对集合内的所有元素，满足加法和乘法的封闭性

$R^2$二维向量空间的图为一个二维笛卡尔坐标系的平面

不是向量空间例子

$R^2$的第一象限

满足加法，但是不满足乘法（乘以负数）

子空间

Subspace 子空间

直接举例子:
$R^3$的子空间有

1. $R^3$本身
2. 过原点的平面
3. 过原点的直线
4. 原点