矩阵消元

羊男原创2025/8/22大约 2 分钟

高斯消元

Gaussian Elimination 高斯消元

矩阵的消元，即解方程组

方程组
$x + 2 y + z = 2$
$3 x + 8 y + z = 12$
$0 x + 4 y + z = 2$

矩阵形式为
$[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{matrix}]$

消元即通过凑同系数的元，然后相减以消元，再挨个元计算结果：

[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}] \begin{matrix} \overset{r o w_{2} - 3 r o w_{1}}{\to} \end{matrix} [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}] \begin{matrix} \overset{r o w_{3} - 2 r o w_{2}}{\to} \end{matrix} [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]

解析

第一步， $r o w_{2} - 3 r o w_{1}$ 等价于

E_{21} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}]

可联系上节提到的右乘进行理解

第二步： $r o w_{3} - 2 r o w_{2}$ 等价于

E_{32} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]

整合结果

E_{32} E_{21} A = E A = u

$A$ 为原矩阵， $E$ 为消元矩阵， $u$ 为结果矩阵，即

E = E_{32} E_{21} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 \end{matrix}]

计算方程解

$A x = b$
$E A = u$
$E A x = E b$
$u x = E b$

E = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 \end{matrix}]; b = [\begin{matrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{matrix}]; E b = [\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ - 10 \end{matrix}]

u = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]

解 $u x = E b$

[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ - 10 \end{matrix}]

x = 2; y = 1; z = - 2

带回方程验证正确，以上就是高斯消元解方程组的全过程

增广消元

Augmented matrix 增广矩阵

构造一个增广矩阵

[\begin{array}{cc} A & b \end{array}] = [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 8 & 1 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{array}] \begin{matrix} \overset{E}{\to} \end{matrix} [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 & 6 \\ 0 & 0 & 5 & - 10 \end{array}] = [\begin{array}{cc} E A x & E b \end{array}]

即可计算结果