Ax=b通解

羊男原创2025/10/29大约 2 分钟

求 $A x = b$

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{matrix}]$

讨论b的可解性

使用增广矩阵进行消元

[\begin{matrix} A & b \end{matrix}] = [\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b_{1} \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_{2} \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b_{1} \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_{2} - b_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_{3} - b_{2} - b_{1} \end{array}]

可以看出 $b_{3} - b_{2} - b_{1} = 0$
所以对于b的可解性结论是：

求 $A x = 0$ 等价于
求 $U x = 0$ 的解
即

[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

即：
$x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 0$
$2 x_{2} + 4 x_{3} = 0$

将两个特解组合起来即可得到 $A x = 0$ 的通解

x_{n u l l} = C_{1} [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}] + C_{2} [\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = N (A)

根据上述讨论得知，满足 $b_{3} - b_{2} - b_{1} = 0$ 的 $b$ 才有解。

求 $A x = b$

$A x = b$
$\to E A x = E b$
$\to U x = E b$

$E b = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$

即求解

[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]

$x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 0$
$2 x_{2} + 4 x_{3} = 0$

解得 $x_{3} = \frac{1}{2}, x_{1} = 0$

对于 $A x = b, b = [\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}]$ 的一个特解为

$x_{p} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}]$

$∵ A x_{p} = b; A x_{n} = 0$
$A x_{p} + A x_{n} = b + 0$
$∴ A (x_{p} + x_{n}) = b$

通解为：

x_{p} + x_{n} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}] + C_{1} [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}] + C_{2} [\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]