正交矩阵

羊男原创2025/11/17大约 1 分钟

有一组正交单位向量 $q_{1}, q_{2}, q_{3}, . . ., q_{n}$ ，它们按列所组成的矩阵，为正交矩阵 $Q$

Q = [\begin{matrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} & . . . & q_{n} \end{matrix}]

有： $Q^{T} Q = I$ ， $Q^{T} = Q^{- 1}$

例：旋转矩阵

R = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

$R$ 为正交矩阵

正交化法

Graham-Schmidt Orthogonalization 格拉姆-施密特正交化法

设有 $a$ , $b$ 向量，不正交，使其正交化的步骤如下：

答： $Q = [\begin{matrix} q_{a} & q_{b} \end{matrix}]$

例： $a = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]$ ， $b = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}]$

$A = a$
$B = b - P_{a} b = b - A (A^{T} A)^{- 1} A^{T} b = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] \frac{3}{3} = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}]$
$q_{a} = A / | A | = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] / \sqrt{3}$
$q_{b} = B / | B | = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] / \sqrt{2}$

Q = [\begin{matrix} q_{a} & q_{b} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}]

对于原矩阵 $A$ ，正交化矩阵为 $Q$ ，有： $A = Q R$