矩阵乘法，逆矩阵

矩阵乘法

矩阵乘法的行列数要求
$M_{m\times n}{M}_{n\times k}=M_{m\times k}$

常规（代数）

$AB=C$
某一格的结果为：$C_{mn}={\mathrm{A}.\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{w}}_{\mathrm{m}}\cdot {\mathrm{B}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}$

m列 n行 的结果等于：矩阵A的m行（向量）点乘矩阵B的n列向量

列乘（左乘）

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right]$
拆分成
$\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{l}}_1=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right]$$\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{l}}_2=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}y\\ w\end{array}\right]$

$M_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{l}}_1& \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{l}}_2\end{array}\right]$

一个矩阵则代表了一个空间，每一列代表了这个空间的一个轴（x轴，y轴等）
所以将两个矩阵相乘，即将两个变换进行组合，就是分别对各轴进行进行变换后重新组成新的矩阵

行乘（右乘）

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right]$
拆分成 $\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_1=\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right]$$\mathrm{r}\mathrm{o}{\mathrm{w}}_2=\left[\begin{array}{cc}c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right]$

理解与左乘类似

单行当列相乘

$\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ax& ay\\ bx& by\\ cx& cy\end{array}\right]$

可以按行或列观察，不管是按行还是按列看成向量，这个空间的轴都是共线的

逆矩阵

Inverse Matrix 不是所有的矩阵都有逆矩阵

方阵(Square Matrix)

如果矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$存在，则 $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

$I$ Identity Matrix 单位矩阵

非方矩阵，则$A^{-1}A$ 不可调换位置，起码是因为矩阵形状不想等导致不可乘

不可逆矩阵

Singular Matrix 奇异矩阵 Non-Invertible Matrix 不可逆矩阵

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]$

按行或列观察都可以发现，这个空间的轴共线了，无法张成一个完整的空间，所以这个矩阵不可逆

求逆矩阵(方阵)

$A{A}^{-1}=I$

$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

即解方程组
Gauss–Jordan elimination 高斯约旦消元法

Augmented matrix 增广矩阵

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ 2& 7& 0& 1\end{array}\right]\begin{array}{ccc}& \stackrel{ro{w}_2-2ro{w}_1}{\to }& \end{array}\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]\begin{array}{ccc}& \stackrel{ro{w}_1-3ro{w}_2}{\to }& \end{array}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 7& -3\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]$$

而后，每一步的消元操作（矩阵）组合起来，我们称为E矩阵，即E矩阵为消元矩阵
有$E\left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}\end{array}\right]$

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}7& -3\\ -2& 1\end{array}\right]$