不定积分

Anti_Derivative反导数

又称

Indefinite Integral 不定积分

定义

有 $y=f(x),\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x),dy=f^{\prime }(x)dx$，则

$$y=\int f^{\prime }(x)dx$$

称 $y\mathrm{是}{f}^{\prime }(x)\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{导}\mathrm{数}$
或 $y\mathrm{是}{f}^{\prime }(x)\mathrm{的}\mathrm{不}\mathrm{定}\mathrm{积}\mathrm{分}$

即求导数的原函数

• 积分符号 $\int$

又因为常数的导数是0，所以求反导数时，需要加上常数C

举例

Example of sin

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

Example of Power

$$\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C,(a\ne -1)$$

Example of Power a = -1

$$\int \frac{1}{x}dx=\int x^{-1}dx=\ln x+C$$

Example of Substitution

换元法

$$\int x^3(x^4+2{)}^{5}dx$$$$letu=x^4+2,du=4x^{3}dx$$$$\int u^5\frac{1}{4}du=\frac{1}{24}{u}^6+C$$$$\int x^3(x^4+2{)}^{5}dx=\frac{1}{24}(x^4+2{)}^6+C$$

求不定积分

求积分比求导要难上许多许多，以至于大多数时候其实是求不出来的
上面的换元法，算是一种经过编排过后的题目，所以感觉如此的"巧合"
事实上,如果题目变成$\int x^2(x^4+2{)}^{5}dx$，结果就会变得非常难解（目前这个题目不是不能解）