牛顿迭代法

推论

有函数$f(x)$，求$f(x)=0$的解

1.取$x_0$，有$f(x_0)$处的切线与$x$轴的交点为$x_1$
满足以下式子:
$\frac{f(x_0)}{(x_0-x_1)}=f^{\prime }(x_0)$
$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$
2.重复第一条，迭代若干次，值就会很快收敛到$f(x)=0$的解

牛顿迭代法，公式

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

实例

求$\sqrt{2}$，设$f(x)=x^2-2$
$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}$
$x_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_n+\frac{1}{x_n}$ 取$x_0=2$进行迭代
$x_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1.5$
$x_2=\frac{3}{4}+\frac{2}{3}=\frac{17}{12}=1.4166666666666667$
$x_3=\frac{17}{24}+\frac{12}{17}=\frac{577}{408}=1.41421568627$

很快就能算出$\sqrt{2}$了

中值定理

Mean Value Theorem - MVT

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$$$f(b)=f(a)+f^{\prime }(c)(b-a)$$$$c\in (a,b),f(x)\text{ is continuous on }[a,b],f^{\prime }(x)\text{ is differentiable on }[a,b]$$