分部积分

部分积分（跳过）

部分积分 Partial Fraction

这个部分积分，实际情况使用起来相当复杂，只举一个简单的例子

$$\int (\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x+2})dx=\int \frac{4x-1}{x^2+x-1}dx=\ln (x-1)+3\ln (x+2)+C$$

从上述例子可以看出，中间项是一个很复杂的积分，但其实可以转成第一项的形式，然后就好积分了.

分部积分

分部积分 Integration by part

从乘法出发

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
$u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$

积分：$\int u{v}^{\prime }dx=\int (uv{)}^{\prime }dx-\int (u^{\prime }v)dx$

得到分部积分公式

$$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$$

定积分写法

$${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$$

例子1

$\int (\ln x{)}^{n}dx$
$u=(\ln x{)}^n,u^{\prime }=n(\ln x{)}^{n-1}\frac{1}{x}$
$v=x,v^{\prime }=1$

$\int (\ln x{)}^{n}dx=x(\ln x{)}^n-\int n(\ln x{)}^{n-1}\frac{1}{x}xdx$

总结

$$F_n(x)=\int (\ln x{)}^{n}dx$$$$F_n(x)=x(\ln x{)}^n-n{F}_{n-1}(x)$$

例子2

$\int x^n{e}^{x}dx$
$u=x^n,u^{\prime }=n{x}^{n-1}$
$v=e^x,v^{\prime }=e^x$

$\int x^n{e}^{x}dx=x^n{e}^x-\int n{x}^{n-1}{e}^{x}dx$

总结

$$G_n(x)=\int x^n{e}^{x}dx$$$$G_n(x)=x^n{e}^x-n{G}_{n-1}(x)$$