微分

微分

Differentials - 微分
新概念

记号

有函数$y=f(x)$
导函数记作

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}=f^{\prime }(x)$$

$y\mathrm{的}\mathrm{微}\mathrm{分}$或称$f$的微分记作

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

$dx$ 被看作是无穷小值

使用方法

与线性近似对比，求$(64.1{)}^{\frac{2}{3}}$

• 线性近似（泰勒一阶展开）
  $f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
  有：$x=64.1,x_0=64,f(x)=x^{\frac{2}{3}},f^{\prime }(x)=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}$
  $(64.1{)}^{\frac{2}{3}}\approx 4^2+\frac{1}{6}\times \frac{1}{10}=16.016$

• 微分记号法
  $y=x^{\frac{2}{3}}$
  $dy=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}dx$
  有：$x=64,dx=0.1,y=16,dy=\frac{1}{6}dx$
  $(64.1{)}^{\frac{2}{3}}\approx y+dy=16+\frac{1}{6}\ast 0.1=16.016$