三角函数积分

前情回顾

• 三角函数

$$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$$$$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$$$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$$$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$$

• 勾股定理（三角恒等式）

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$$${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$$

• 倍角公式

$$\sin (2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$$$$\cos (2\theta )={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$$

• 半角公式（可通过上面的推出来）

$$\sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$$$$\cos \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$$

• 三角函数的微分

$${\sin }^{\prime }x=\cos x$$$${\cos }^{\prime }x=-\sin x$$$${\tan }^{\prime }x={\sec }^{2}x$$$${\sec }^{\prime }x=\sec x\tan x$$

更复杂的三角形微积分

$\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx(m,n\mathrm{为}\mathrm{非}\mathrm{负}\mathrm{整}\mathrm{数})$

• 使用倍角公式/半角公式，将积分式转换成唯一sin或cos形式

三角替换

当涉及到圆形$a^2=x^2+y^2$时，可以使用三角替换将积分转换成正弦或余弦进行积分

原式	替换	结果
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\cos \theta$ $x=a\sin \theta$	$a\sin \theta$ $a\cos \theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan \theta$	$a\sec \theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec \theta$	$a\tan \theta$

例子

例子书写起来太麻烦了，就写一个最简单的好了
解$\int \sqrt{1-x^2}dx$

注释：三角替换

令$\theta =\arcsin x$

$x=\sin \theta$

$dx=\cos \theta d\theta$

$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{{\cos }^2\theta }=\cos \theta$

有$\int \sqrt{1-x^2}dx=\int {\cos }^2\theta d\theta$

$=\int \frac{1+\cos (2\theta )}{2}d\theta =\frac{1}{2}\int 1+\cos (2\theta )d\theta$

$=\frac{1}{2}(\theta +\frac{1}{2}\sin (2\theta ))$

注释：逆三角替换

$=\frac{1}{2}(\arcsin x+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2})$