定积分

定积分

积分符号 $\int$
定积分，是求函数在某个区间[a,b]内以x轴为底的面积
写作${\int }_a^{b}f(x)dx$

黎曼和 与 黎曼积分

Riemann Sum
黎曼和是求定积分近似值的常用方法

Riemann Integral
黎曼积分是求定积分的准确值

黎曼积分是在数学上严格定义了定积分的计算方式

思想

为了方便，我们取区间[0,b]进行描述
为计算函数图像在[0,b]区间内的面积，我们可以将[0,b]进行n等分成矩形
以$\frac{b}{n}$为底，第$i$个矩形高为$f(i\frac{b}{n})$
将所有矩形面积求和，即为函数图像在[0,b]区间内的面积
当n取尽于无穷大的时候，求极限即可得到函数图像在[0,b]区间内的面积
是一种极限思想

举例0

函数$y=1$在区间[0,b]内的面积
设底为$\mathrm{\Delta }x=\frac{b}{n}$，第i个矩形的高$f(i\frac{b}{n})=1$

$$\sum _{i=1}^n\frac{b}{n}\cdot 1=\frac{b}{n}\sum _{i=1}^{n}1=\frac{b}{n}n=\frac{b}{n}n=b$$$$\therefore {\int }_0^{b}1dx=b$$

观察图像亦可得出这个结果

举例1

函数$y=x$在区间[0,b]内的面积
设底为$\mathrm{\Delta }x=\frac{b}{n}$，第i个矩形的高$f(i\frac{b}{n})=i\frac{b}{n}$

$$\sum _{i=1}^n\frac{b}{n}i\frac{b}{n}=(\frac{b}{n}{)}^2\sum _{i=1}^{n}i=(\frac{b}{n}{)}^2\frac{n^2}{2}=\frac{1}{2}{b}^2$$$$\therefore {\int }_0^{b}xdx=\frac{1}{2}{b}^2$$

总结

观察上述例子1（0次幂函数）和例子2（1次幂函数），不难发现
求面积的结果与求不定积分（反导数）的结果有非常强的关系

黎曼积分定义与定积分对比

$$\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x={\int }_a^{b}f(x)dx$$

黎曼积分是定积分的一种严格数学定义
而在(初等)微积分中，求定积分，直接使用牛顿-莱布尼茨公式，求反导数（不定积分）
代入区间[a,b]，可以非常高效的计算定积分