弧长

弧长公式

弧长计算是以直代曲的思想，$s^2=x^2+y^2$

微分式
$(ds{)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2$
$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$
$ds=\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}dx$

弧长积分
$\int ds=\int \sqrt{1+(dy/dx{)}^2}dx$
$=\int \sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$

例1，弧度制

计算单位圆弧长

$y=\sqrt{1-x^2}$
$y^{\prime }=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$ArcLength={\int }_0^a\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
$\alpha ={\int }_0^a\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}dx$
$\alpha ={\int }_0^a\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$\alpha ={\sin }^{-1}(a)$

以上就是弧度制的计算定义，即

$\sin \alpha =a$，（a为'x'）

例2

计算抛物线长度

$y=x^2$
$y^{\prime }=2x$
$ds=\sqrt{1+4x^2}dx$

${\int }_0^a\sqrt{1+4x^2}dx$

注意，这是一个很好的答案了，使用任何计算积分的方法，都可以很快的得到结果。

而如果解积分，过程则很是繁琐，且答案(如下)很难看

${\int }_0^{a}ds=\frac{1}{4}2x\sqrt{1+4x^2}+\frac{1}{4}\ln (2x+\sqrt{1+4x^2})$

提示：先三角替换 $x=\frac{1}{2}\tan (u)$,再使用分部积分，最后逆三角替换就好

例2的延伸，表面积

求例2所取的弧长，绕x轴旋转一周所形成的面积

$dA=(2\pi y)ds$

${\int }_0^{a}dA={\int }_0^a(2\pi x^2)\sqrt{1+4x^2}dx$

这亦是一个很好的答案了

例3，球表面积

$dA=2\pi yds$

注意，例1有$ds=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

追加半径r，$ds=\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}$

$\int dA=\int 2\pi \sqrt{r^2-x^2}\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx$
$\int dA=\int 2\pi rdx=2\pi rx+C$

得到不定积分

带入范围计算(右)半球表面积

${\int }_0^{r}dA=2\pi r(r-0)=2\pi r^2$

计算球表面积

${\int }_{-r}^{r}dA=2\pi r(r-(-r))=4\pi r^2$

总结

最初想看微积分的教程，是因为Game101。第一次遇到需要微积分的内容是立体角，而后又有渲染方程亦需要微积分。

这个教程看到这，是有一些感慨的，带着问题（微分立体角）而来，现在终于学到了相关的知识。前后大概花了两个月的时间。

加油哦