求导的应用

线形近似与二阶近似

线性（一阶）与二阶近似

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2$$

$x$越接近$x_0$，结果越近似
后者的函数图像“可能”是于$x_0$处近似的
通常的$x_0=0$
所以$x$越小，越相近
但是$x$不会取到0

一阶举例

尝试计算$\ln 1.1$

有$f(x)=\ln (1+x)$
于$x_0=0$处近似
$\ln (1+x)\approx \ln (1+x_0)+\frac{1}{1+x_0}(x-x_0)\approx x$

所以通过一阶近似，$\ln 1.1=\ln (1+0.1)\approx 0.1$

二阶举例

尝试计算$\ln 1.1$

有$f(x)=\ln (1+x)$
于$x_0=0$处近似
$\ln (1+x)\approx \ln (1+x_0)+\frac{1}{1+x_0}(x-x_0)+\frac{(-(1+x_0{)}^{-2})}{2}(x-x_0{)}^2\approx x-\frac{1}{2}(x{)}^2$

所以通过一阶近似，$\ln 1.1=\ln (1+0.1)\approx 0.1-\frac{1}{2}(0.1{)}^2=0.1-0.005=0.095$

二阶近似$\ln 1.1\approx 0.095$

事实上$\ln 1.1\approx 0.0953101798043$，二阶近似已经足够接近实际值了

证明

设有函数$f(x)=a+bx+c{x}^2$
令$x_0=0$有
$f(0)=a+b{x}_0+c{x}_0^2=a$
$f^{\prime }(0)=b+2c{x}_0=b$
$f^{″}(0)=2c⟺c=\frac{f^{″}(0)}{2}$

所以

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2$$

幂函数与其近似函数的图像，是完全相等的

几何意义

（红色）原函数$y=\cos x$

（蓝色）线性近似$y=1+\sin 0x$

（绿色）二阶近似$y=1+\sin 0x+\frac{(-\cos 0)}{2}{x}^2$ (和三阶重叠了)

（紫色）三阶近似$y=1+\sin 0x+\frac{(-\cos 0)}{2}{x}^2+\frac{1}{6}(-\sin 0)x^3$

（黑色）四阶近似$y=1+\sin 0x+\frac{(-\cos 0)}{2}{x}^2+\frac{1}{6}(-\sin 0)x^3+\frac{1}{24}(\cos 0)x^4$

可以看到阶数越高，越接近原函数。
通常会取极小的x，来求原函数x处的值
例如上面的计算$\ln 1.1$，就是取了$\ln (x+1),x=0.1$，求近似值

其实

其实这是泰勒公式

这是用来求近似值的，只要展开得足够多项，很快就能求出近似值

事实上，在求例如$\ln 2.1$的值时，计算机通常会使用泰勒公式，展开到足够多项，即可求得近似值

为了可计算。$x_0$ 取0或者1(ln 1的情况),$x$取值越靠近$x_0$，需要展开的项越少

最值问题

通过一阶导数，可以得出函数图像的变化趋势
简单的，找到函数一阶导数的零点，就是函数图像的最值
而通过二阶导，可以进一步确定函数大致图像