积分的应用及计算

前言

因为工作变忙，导致很久没有更新博客了，今天继续吧。

积分的应用

1.求面积

${\int }_a^{b}f(x)dx$积分计算的本质就是求，f(x)的函数图像[a,b]区间内以x轴为底，所围成的面积，不再赘述

2.求体积

1. 圆盘法
2. 壳层法

上述的两个方法，均是将三维物体，单一截取二维截面，然后对截面取极小面积，加以X/Y旋转，进行积分，以此来求体积的。

3.求平均值

1. 平均

$$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

2. 加权平均

$$\frac{{\int }_a^{b}f(x)w(x)dx}{{\int }_a^{b}w(x)dx}$$

积分的计算

1.Riemann Sum 黎曼和

$$(y_0+y_1+...+y_{n-1})\mathrm{\Delta }x,\mathrm{左}\mathrm{黎}\mathrm{曼}\mathrm{和}$$$$(y_1+y_2+...+y_n)\mathrm{\Delta }x,\mathrm{右}\mathrm{黎}\mathrm{曼}\mathrm{和}$$

2.Trapezoidal rule 梯形法

梯形法思想，是将y[0,n]依次连线，得n个梯形，求和所得，连线更接近于函数图像，所以相较于黎曼和更有效

$$\mathrm{\Delta }x(\frac{y_0+y_1}{2}+\frac{y_1+y_2}{2}+...+\frac{y_{n-1}+y_n}{2})$$$$\mathrm{\Delta }x(\frac{y_0}{2}+y_1+y_2+...+y_{n-1}+\frac{y_n}{2})$$

本质上是左黎曼和+右黎曼和的结果

3.Simpson's rule 辛普森法则

思想是，将函数图像分成n分(n要求是偶数)

对于第1.2分的面积计算，使用了加权平均思想，即将中间的点权值设为4，其他点权值设为1，可达到一种非常高效的近似

$$2\mathrm{\Delta }x\frac{y_0+4y_1+y_2}{6}$$

辛普森法则公式如下

$$S_n=\frac{\mathrm{\Delta }x}{3}(y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+...+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n)$$

注：系数遵从1,4,2,4,2,4,...,2,4,1排列