微分方程

微分方程

Difference Equations (微分方程)
解微分方程，是求y的过程

Example 1

第一个例子是上节课已经解过的例子

$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$$$y=\int f(x)dx$$

Example 2

有方程
$(\frac{d}{dx}+x)y=0$
*我不认为上述方程写法是对的，许是物理？量子力学？会这么写？

$\frac{dy}{dx}+xy=0$
$\frac{dy}{dx}=-xy$
*Separation of variables 分离变量法

$\frac{dy}{y}=-xdx$
*两边求不定积分

$\int \frac{dy}{y}=-\int xdx$
$\ln y=-\frac{1}{2}{x}^2+c$
*求不定积分后，两边都有常数c的，$c=c_x-c_y$

$y=e^{-\frac{1}{2}{x}^2+c}$
$y=a{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2},a=e^c$

Example 3

使用分离变量法再求Example 1

$\frac{dy}{dx}=f(x)$
$dy=f(x)dx$
$\int dy=\int f(x)dx$
$y=\int f(x)dx$

Example 4

这个例子说明解微分方程有什么用处

假设有这么一个函数，函数处处与原点连线的斜率x2=函数在该点的斜率
根据描述，我们可以得到如下方程

$\frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}$
$\frac{dy}{y}=2\frac{1}{x}dx$
$\int \frac{dy}{y}=\int 2\frac{1}{x}dx$
$\ln y=2\ln x+C$
$e^{\ln y}=e^{2\ln x+C}$
$y=a{x}^2,a=e^C$

我们就可以知道问题描述的函数是一个二次幂函数