求导公式

幂函数求导

$$\frac{d}{dy}{x}^n=n{x}^{n-1}$$

三角函数求导

• $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$
• $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$
• $\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

一些三角函数公式的补充
$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$

求导运算法则

• 加法 $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
• 常数乘法
  $(cu{)}^{\prime }=c{u}^{\prime }$,c 为常数
• 乘法(可通过导数定义推出的)
  $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• 除法(可通过导数定义推出的)
  $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2},v\ne 0$
• 链式法则
  $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$
  举例： $\frac{d}{dt}(\sin t{)}^{10}=10x^9\cdot \cos t=10(\sin t{)}^9\cos t,x=\sin t$

高阶导数

• 一阶导数记号
  $u^{\prime }=\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}u=Du,(D=\frac{d}{dx})$
• 二阶导数记号
  $u^{″}=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}u=(\frac{d}{dx}{)}^{2}u=\frac{d^2}{d{x}^2}u=\frac{d^{2}u}{d{x}^2}=D^{2}u$
• 高阶同理

举例：
$D{x}^n=n{x}^{n-1}$
$D^2{x}^n=n(n-1)x^{n-2}$
$D^3{x}^n=n(n-1)(n-2)x^{n-3}$
$......$
$D^n{x}^n=[n(n-1)(n-2)...2\times 1]\times 1=n!$
$D^{n+1}{x}^n=0$

隐函数微分法

Implicit Differentiation

虽然链式法则，很方便，但是

对于方程$y^4+x{y}^2-2=0$而言，函数长这样

$$y=\pm \sqrt{\frac{-x\pm \sqrt{x^2+2}}{2}}$$

这很难受，所以引入隐函数微分法

隐函数微分法过程如下：
$4y^3{y}^{\prime }+y^2+x2y{y}^{\prime }=0$
$y^{\prime }(4y^3+2xy)=-y^2$
$y^{\prime }=\frac{-y^2}{4y^3+2xy}$

所以，方程$y^4+x{y}^2-2=0$于$x=1,y=1$处的导数（斜率）为 $\frac{-1}{6}$
*注意，对于任意函数进行求导容易，不代表原函数求值容易

反函数求导

函数$y=f(x)$的逆函数为$x=f^{-1}(y)$

设$y=\arcsin (x)={\sin }^{-1}x$
要求其导数，依旧使用隐函数微分法最佳

$y=\arcsin (x)$
$\sin (y)=x$

两边求导

$\cos (y)\cdot y^{\prime }=1$
$y^{\prime }=\frac{1}{\cos (y)}$

接下来，根据$\sin (y)=x$构建直角三角形，即可得出$\cos (y)=\sqrt{1-x^2}$，所以

$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

求导相关的名词说明

Differentiate，叫微分，动词

Differentiation（微分法）是动作 → 指“求导”这个计算过程。

Derivative（导数）是结果 → 指函数求导后得到的新函数或数值。