微积分基本定理

Fundamental Theorem of Calculus(简称FTC)
微积分基本定理

FTC v1

如果 $F^{\prime }(x)=f(x)$
则有

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

新的记号法

$$F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$$

性质

1. ${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$

2. ${\int }_a^{b}cf(x)dx=c{\int }_a^{b}f(x)dx$

3. ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$

4. ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$

5. ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

6. Estimation 积分估计
   如果 $f(x)\le g(x)$ ,则
   ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx,(a<b)$

FTC v2

如果 $G(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，即函数G总是可以算出f的某固定起始点的定积分，则有

1. $G^{\prime }(x)=f(x)$
2. $G(a)=0$，如果x=a，则G(a) = 0

举例0

$$\frac{d}{dx}{\int }_1^x\frac{dt}{t^2}$$

设 $G(x)={\int }_1^x\frac{dt}{t^2}$

${\int }_1^x\frac{dt}{t^2}=-t^{-}1{|}_1^x$, ${}^{[1]}$

$=-x^{-1}+1$

$=1-x^{-1}$, ${}^{[2]}$

注意：

• $[1]$ 是FTC v1版本的结果，其中$F(x)=-\frac{1}{t}$
• $[2]$ 是FTC v2版本结果，其中$G(x)=1-\frac{1}{x}$

继续未完成的式子

$\frac{d}{dx}{\int }_1^x\frac{dt}{t^2}=\frac{d}{dx}1-\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2}$

$\therefore G^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$

$\therefore \mathrm{原}\mathrm{式}\mathrm{子}=\frac{1}{x^2}$

这推导出了FTC v2的定理
而根据这一定理，可以一眼看出结果的

举例 lnx

设$L^{\prime }(x)=\frac{1}{x};L(1)=0$

根据FTVC v2，可以得到

$L(x)={\int }_1^x\frac{1}{t}dt=\ln x$

$L(x)=\ln x$，函数L包含超越数$e$，所以函数L是个超越函数。
对于求$\ln x$的值而言是困难的。
所以当计算$\ln x$的值时，我们使用积分部分会更加的简单
积分可以使用黎曼和求积分或是其他可以求积分近似值的方法

举例e,一个无法写出来的函数

设 $f^{\prime }(x)=e^{-x^2};f(0)=0$

根据FTVC v2，可以得到

$f(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$

注：

• $e^{-x^2}$ 是个正态分布函数
• $f(x)$ 是求该函数图像在[0,x]区间内的面积
• $f(x)$ 无法使用任意初等函数进行构造书写,即$e^{-x^2}$无法使用初等函数构造出其原函数
• 积分扩充函数的定义能力，事实上越来越多的只能通过积分来书写的函数被发现

对微积分的一次全面总结

为何定积分*(求图像面积)*会是，被积函数的原函数的差呢？
为了解释，将FTC v1反过来理解

$$F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx{,}^{[3]}$$

1. $\mathrm{\Delta }F=F(b)-F(a)$
2. $\mathrm{\Delta }x=b-a$

$\therefore \mathrm{\Delta }F={\int }_a^{b}f(x)dx$
$\therefore \frac{\mathrm{\Delta }F}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$,${}^{[1]}$

对[1]进行解释

1. $f(x)\mathrm{是}F(x)\mathrm{的}\mathrm{导}\mathrm{数}$（变化率）

2. $dx$ 是 x 的 微分，是极小的x

3. $f(x)dx=df$；$df$ 是f的微分
   df（对f图像而言）是 极小面积
   df (对原函数F而言) 是 极小变化量

4. ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 是面积，是总变化量${}^{TotalChange}$

5. $\frac{TotalChange}{b-a}=\mathrm{A}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{O}\mathrm{f}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}$ 平均变化量

$\therefore \mathrm{\Delta }F=\mathrm{A}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{O}\mathrm{f}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{\Delta }\mathrm{x}$,${}^{[2]}$

对[2]进行解释
$\mathrm{\Delta }F$ 是 平均变化量 乘以 $\mathrm{\Delta }x$，得到的在经过$\mathrm{\Delta }x$后的总变化量

所以总结[3]
${\int }_a^{b}f(x)dx$ 是面积，也是对于原函数而言，于[a,b]的总变化量