指数和对数

本章节将通过推论，引出指数求导，对数求导，和自然常数e

指数函数求导_1

$f(x)=a^x,a>0$
从定义出发，那么$f^{\prime }(x)$就等于
$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}$
$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{a}^x\frac{(a^{\mathrm{\Delta }x}-1)}{\mathrm{\Delta }x}$
$f^{\prime }(x)=a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}$
设$E(a)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}$
$f{(}^{\prime }x)=a^{x}E(a)$
$\therefore \frac{d}{dx}{a}^x{|}_{x=0}=E(a)$

指数函数求导_2

通过观察$a^x$的图像于$x=0$处的导数，不难看出，存在这么一个数$e$,使得$E(e)=1$
即

$$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$$

先尝试对数求导

有$f(x)=\ln x$，求$f^{\prime }(x)$
设有方程 $w=\ln x$
$e^w=x⟺e^{lnx}=x$
隐函数微分法
$\frac{d}{dx}{e}^w=\frac{d}{dx}x$
$(\frac{d}{dw}{e}^w)\cdot (\frac{d}{dx}\ln x)=1$
$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{\frac{d}{dw}{e}^w}$
$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{e^{\ln x}}$

$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$

接着对指数函数求导

方法一

换底为$e$

$\frac{d}{dx}{a}^x$
$\because a^x=e^{x\ln a}$
设$u=x\ln a$
$\frac{d}{dx}{e}^{x\ln a}=(\frac{d}{dx}{e}^u)\cdot (\frac{d}{dx}x\ln a)$
$\frac{d}{dx}{e}^{x\ln a}=\ln a{e}^{x\ln a}$

$$\frac{d}{dx}{a}^x=\ln a\cdot a^x$$

对带有指数的函数进行求导，可以将底数转为$e$，进而更好的求导
链式法则，很容易对$e^x$，进行求导，而后对于指数部分也会变简单

方法二

对数微分法
有函数$u$，就有函数$\ln u$

$$(\ln u{)}^{\prime }=\frac{1}{u}{u}^{\prime }$$

所以，令$u=a^x$
$\ln u=\ln a^x=x\ln a$

$(\ln u{)}^{\prime }=\ln a$
$\ln a=\frac{u^{\prime }}{u}$
$u^{\prime }=\ln a\cdot u$

$$(a^x{)}^{\prime }=\ln a\cdot a^x$$

对数微分法，是给带有指数的函数，取其对数后在进行微分
然后代入对数微分法的公式，从而进行隐函数微分法

尝试求特殊函数

对数微分法，对于求指数函数的导数很有用

$v=x^x$
$\ln v=x\ln x$
$(\ln v{)}^{\prime }=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}$
$(\ln v{)}^{\prime }=\ln x+1$
$\frac{v^{\prime }}{v}=\ln x+1$
$v^{\prime }=v(\ln +1)$
$v^{\prime }=x^x(\ln x+1)$

找出e

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$

把他变成对数形式

$\ln ((1+\frac{1}{n}{)}^n)$
$=n\ln (1+\frac{1}{n})$
$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\ln (1+\mathrm{\Delta }x)$ ,令 $\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}$
$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\ln (1+\mathrm{\Delta }x)-\ln 1$, ($\ln 1=0)$
当$n\to \mathrm{\infty }(\mathrm{\Delta }x\to 0)$时,等同于求导
$\frac{d}{dx}\ln x{|}_{x=1}=\frac{1}{x}=1$
注意这是对数的形式，所以原式子的结果是
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$