极限与连续

极限

极限

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$

左极限

$$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$$

右极限

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$$

求函数极限$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 并不要求$f(x_0)$ 存在

连续

若

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

则$f(x)$ 于$x_0$ 处连续

• 存在左极限和右极限，并且左右极限相等
• 且$f(x_0)$存在

连续与求导的关系

• 可导一定连续
  如果 $f(x)$于$x_0$处可导，则$f(x)$于$x_0$处一定连续
  证明如下：
  $\because f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
  $\therefore \underset{x\to x_0}{lim}[f(x)-f(x_0)]=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)$
  $\therefore \underset{x\to x_0}{lim}[f(x)-f(x_0)]=f^{\prime }(x_0)\cdot 0$
  $\therefore \underset{x\to x_0}{lim}[f(x)-f(x_0)]=0$
  $\therefore \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$

• 连续不一定可导
  证明如下：（反证法）
  有$f(x)=|x|$
  $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$ (连续)
  $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=1$ (右导数)
  $\underset{x\to 0^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=-1$ (左导数)
  $\mathrm{左}\mathrm{导}\mathrm{数}\ne \mathrm{右}\mathrm{导}\mathrm{数}$