参数方程与极坐标

接下来介绍的是对于函数的一切其他形式，如参数方程以及极坐标。

参数方程

Parametric Equation

是指有这样一组方程
$x=a\cos t$
$y=a\sin t$

这代表了
$x^2+y^2=a^2{\cos }^{2}t+a^2{\sin }^{2}t=a^2$
这是一个圆的方程

其中隐含的信息有
$t=0,(x,y)=(a,0)$
$t=\pi /2,(x,y)=(0,a)$$t=\pi ,(x,y)=(-a,0)$
意味着t看作时间的话，(x,y)点随时间沿着圆做逆时针运动

微分式：
$(ds{)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2$
$(\frac{ds}{dt}{)}^2=(\frac{dx}{dt}{)}^2+(\frac{dy}{dt}{)}^2$

$ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt}{)}^2+(\frac{dy}{dt}{)}^2}dt$

$\because \frac{dx}{dt}=-a\sin t,\frac{dy}{dt}=a\cos t$
$\therefore ds=\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2}dt$
$ds=\sqrt{a^2}dt=adt$

注意： $\frac{ds}{dt}=a$ 可看作点做圆周运动的速率

极坐标

Polar Coordinate

极坐标，示为$(r,\theta )$
$r$ 是点到原点的距离，$\theta$ 是点到原点的角度
笛卡尔坐标与极坐标的转换关系：
$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

例举几个简单的例子

• $(x,y)=(1,-1)$
  • $r=\sqrt{2},\theta =7\frac{\pi }{4}$
  • $r=\sqrt{2},\theta =-\frac{\pi }{4}$
  • $r=-\sqrt{2},\theta =3\frac{\pi }{4}$
• $r=C$ 是一个圆环
• $\theta =C$
  • $0\le \theta \le \mathrm{\infty }$ 是一条射线
  • $-\mathrm{\infty }\le \theta \le \mathrm{\infty }$ 是一条直线
• $y=1$
  • $y=r\sin \theta =1$
  • $r(\theta )=\frac{1}{\sin \theta }(\sin \theta \ne 0)$

例1-笛卡尔到极坐标的转换

笛卡尔到极坐标的转换

$(x-a{)}^2+y^2=a^2$

图中$a=1$

$x^2-2ax+a^2+y^2=a^2$
$x^2+y^2-2ax=0$
$r^2=2ar\cos \theta$
$r=2a\cos \theta$

例2-表面积

Total area of a circle $A$

$A=\pi r^2$
$\mathrm{\Delta }A=\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2\pi }\pi r^2=\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{\Delta }\theta$

微分式： $dA=\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$
$A={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$
注意：这个表面积分公式，因为$r^2$的缘故，范围$\pm \theta$均可，且A会累加

拿例1作为实例代入有：

$r=2a\cos \theta$

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta \\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}{(2a\cos \theta )}^{2}d\theta \\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2a^2{\cos }^2\theta d\theta \\ & \because {\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )\\ & =a^2{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1+\cos 2\theta d\theta \\ & =a^2(\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta ){|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & =a^2\frac{\pi }{2}-(-a^2\frac{\pi }{2})\\ & =a^2\pi \end{array}$

一些图像