洛必达法则

L'Hôpital's Rule

L'Hospital's Rule

推导于定义

Indeterminate Form 不定式, 例如：$\frac{0}{0}$, $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$

求极限:
$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)},(f(a)=g(a)=0)$

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)/(x-a)}{g(x)/(x-a)}$

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}/\underset{x\to a}{lim}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},(g^{\prime }(x)\ne 0)$

结论:

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

• $f(a)=g(a)=0,or,\pm \mathrm{\infty }$
• 右边极限必须存在 或 等于$\pm \mathrm{\infty }$

例 1

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x-1}{x^2},(\frac{0}{0},\mathrm{可}\mathrm{洛})$
$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\sin x}{2x},(\frac{0}{0}，\mathrm{可}\mathrm{洛})$
$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\cos x}{2}=-\frac{1}{2}$

例 2

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\ln x,(0\ast -\mathrm{\infty }，\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{洛})$
$=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\ln x}{1/x},(\frac{-\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}，\mathrm{可}\mathrm{洛})$
$=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1/x}{-1/x^2}$
$=\underset{x\to 0^{+}}{lim}-x=0$

这意味着 $x\to 0$ 比 $\ln x\to -\mathrm{\infty }$ 快

例 3

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x{e}^{-px},(p>0),(\mathrm{\infty }\ast 0，\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{洛})$

$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{e^{px}},(\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},\mathrm{可}\mathrm{洛})$

$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{p{e}^{px}}=0$

这意味着 $x\to \mathrm{\infty }$ 比 $e^{px}\to \mathrm{\infty }$ 慢

例 4

$\underset{x\to 0}{lim}{x}^x,(0^0，\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{洛})$
$=\underset{x\to 0}{lim}{e}^{x\ln x}$
$\because \mathrm{例}2$
$\therefore =\underset{x\to 0}{lim}{e}^0=1$